Bezoek de website voor leraren en scholieren →
Article

De Platonische lichamen

July 18th, 2015 by Nicos Starreveld

Euler's formule voor veelvlakken

We beschouwen een convex veelvlak. Een veelvlak is een drie dimensionaal meetkundig object dat samengesteld wordt door een eindig aantal congruente veelhoeken. Voorbeelden van convexe veelvlakken zijn de kubus, de viervlak, de vierzijdige pyramide, enzovoort.

Figuur 1: Een cubus, een viervlak en een vierzijdige pyramide.

We noemen een veelvlak convex als het aan de volgende eis voldoet, neem twee willekeurige punten die op het veelvlak liggen en trek de rechte lijn die deze twee punten verbindt, dan ligt deze lijn in de inwendige (interieur?) van het veelvlak. De drie veelvlakken gegeven hierboven zijn allemaal convex. Een voorbeeld van een niet-convex veelvlak is de tetrahemihexahedron.

Figuur 2: Een tetrahemihexaedron

Een veelvlak wordt gebouwd door drie bouwstenen, een aantal hoekpunten (v), een aantal ribben (e) en een aantal zijvlakken (f). Voor elk veelvlak, convex of niet convex, zijn deze drie getallen goed gedefinieerd. Voor de voorbeelden boven deze karakteristieken worden gegeven in de volgende tabel

In mijn ogen is het niet vanzelfsprekend dat er een verband bestaat tussen deze drie bouwstenen van een veelvlak. In de achttiende eeuw heeft de wiskundige Leonard Euler de volgende formule ontdekt die een verbant legt tussen het aantal hoekpunten (v), het aantal ribben (e) en het aantal zijvlakken (f) in een convex veelvlak

\begin{equation}\label{Euler}v-e+f = 2.   \end{equation}

En wat zo magisch is, is dat deze formule geldt in alle convexe veelvlakken! Neem bijvoorbeeld de kubus, dan volgens de bovenstaande tabel v-e+f = 8-12+6 =2, in de veervlak en de pyramide komt ook precies 2 uit. Ga ook zelf aan de slag, neem een ander convex veelvlak en verifieer dat v-e+f=2. Let op, je veelvlak moet convex zijn, er mogen geen gatten er in zitten en ook geen stekels er uit steken! In de tetrahemihexahedron we zien bijvoorbeeld dat v-e+f gelijk is aan 1.

En nu de essentie van dit artikel, we hebben deze formule verifieerd voor drie gevallen van convexe veelvlakken maar hoe kunnen we laten zien dat die geldt in alle convexe veelvlakken? Is het misschien mogelijk om een ingewikkeld veelvlak te construeren dat convex is en tegelijkertijd niet aan deze formule voldoet? Laten even kijken waarom dat niet mogelijk is.

Het bewijs we gaan bespreken, bedacht door de wiskundige Augustin-Louis Cauchy in 1811, maakt gebruik van Schlegel diagrammen, die zijn graaf-representaties van een convex veelvlak op het platte vlak. Dit bewijs legt een verband tussen twee grote onderdelen van de wiskunde, de meer klassieke onderdeel van de meetkunde, en de meer moderne onderdeel van het grafentheorie. Het idee is dat als we een veelvlak gaan projecteren op het platte vlak dan krijgen we een graaf, deze graaf heet de Schlegel diagram van het veelvlak. Laten we kijken hoe dit werkt met een paar voorbeelden.

Figuur 3: De graaf-projectie van de cubus op het vlak.
Figuur 4: De graaf-projectie van de vierzijdige pyramide op het vlak.

Deze graaf heeft twee belangrijke eigenschappen. Ten eerste hij heeft hetzelfde aantal punten en zijden zoals het oorspronkelijke veelvlak en heeft één zijvlak minder. De tweede eigenschap is dat hij is plenair, dat betekend dat geen twee zijden elkaar snijden. Dus om Euler’s formule te bewijzen voor een convexe veelvlak het is voldoende om te bewijzen dat in een plenaire graaf de volgende formule geldt

\begin{equation}\label{Euler2}v-e+f =1.\end{equation}

We hebben dus een meetkundige probleem vertaald naar een graaf-theoretische probleem! Dat is zo mooi met de wiskunde, dat je soms naar een andere wereld mag rijzen om iets te bewijzen! We gaan dus verder met het bewijs voor plenaire grafen.

We beschouwen een plenaire gaaf. Het idee is dat we deze graaf gaan transformeren, door midden van operaties op de zijvlakken, naar een eenvoudiger graaf op zo’n manier zodat de linke kant van \eqerf{Euler2} invariant blijft. De twee operaties we gaan toepassen op de graaf zijn de volgende:

Operatie 1: Zoek in de graaf een zijvlak die “kijkt” naar meer dan drie punten. We verbinden twee van deze punten. Dan krijgen we een nieuwe zijde in de graaf en twee zijvlakken in plaats van één. Dus in de nieuwe graaf v_2 = v, e_2 = e +1 en f_2 = f-1, en v_2-e_2+f_2 = 1. Dus v-e+f blijft dezelfde en bovendien de graaf is nog steeds plenair. We herhalen deze procedure tot dat het niet meer kan. Aan het einde krijgen we een graaf die wordt gebouwd door veel driehoeken, misschien met gekromde zijden maar dit maakt niet uit voor het bewijs.

Figuur 5: (Links) Het zijvlak in groen kijkt naar vier punten. (Rechts) We verbinden de twee punten, we krijgen één zijvlak en éen rib extra.
Figuur 6: (Rechts) Aan het einde alle zijvlakken bevatten punten die naar twee andere punten kijken.

Operatie 2: De tweede operatie heeft als doel om zijvlakken te verwijderen onder de voorwaarde dat v-e+f invariant blijft. In onze graaf elke zijvlak kan 0,1,2 of 3 gezamenlijke zijden hebben met het buitenvlak van de graaf. We verwijderen een zijde die één gezamenlijke zijde heeft met het buitenvlak. Dan verdwijnt één zijde en één vlak en dus de formule blijft invariant. We herhalen deze procedure tot dat het niet meer kan, vervolgens gaan we zijvlakken verwijderen die twee gezamenlijke zijdes hebben met het buitenvlak. Uiteindelijk hebben we een graaf die wordt samengesteld door disjuncte driehoeken, en voor driehoeken we weten dat de formule geldt! Quod erat demonstrandum!

We hebben dus bewezen dat in elk convex veelvlak geldt dat v-e+f=2. We hebben ook een voorbeeld van een niet-convex veelvlak, namelijk de tetrahemihexahedron, waarvoor deze formule niet geldt. Dus de formule geldt niet voor alle veelvlakken. Maar is convexiteit ook noodzakelijk? Zijn er niet convexe veelvlakken waarvoor de desbetreffende formule wel geldt? Het antwoord is ja! Neem bijvoorbeeld een kubus met een kleinere pyramide boven op! (Opgave: Maak een plaatje en laat zien dat v-e+f=2). Kunnen we dit verklaren? In het bewijs we hebben eigenlijk een sterker resultaat bewezen, namelijk dat in elke plenaire graaf geldt dat v-e+f=1. Laten we het Schlegel diagram van dit veelvlak gaan tekenen, het is een plenaire graaf! (Opgave)

 

De platonische lichamen

Een platonisch lichaam, of anders een canoniek veelvlak, is een veelvlak waar elke zijvlak een canoniek veelhoek is. Een voorbeeld van een canoniek veelvlak is de kubus, elke zijvlak is een vierkant. Veel interessante vragen komen nu opdagen. Welke andere canonieke veelvlakken bestaan? En hoeveel zijn deze? Kan ik met elke regulier veelhoek een regulier veelvlak maken? Laten we deze vraag gaan onderzoeken! Ten eerste bij elke veelvlak er correspondeert een unieke drieling getallen (v,e,f), vanwege de formule van Euler in \eqref{Euler}. Maar gegeven een (v,e,f) het is niet zo makkelijk te zien wat voor veelvlak hij representeert. Bijvoorbeeld kun je zien welke veelvlak (8,12,6) representeert? Het is de kubus maar het is niet zo makkelijk te zien in eerst instantie. Het is meer inzichtelijk om te weten hoe veel zijvlakken elkaar treffen op elke punt, deze noteren we met H, en hoeveel ribben elke zijvlak heeft, deze noteren we met E. Voor de kubus bijvoorbeeld H=3 en E=4, dus 3 vierkanten treffen elkaar op elk punt. Beschouw een canoniek veelvlak en kijk naar alle zijvlakken los van elkaar. Dan krijg je f veelhoeken met totaal 2e ribben en Hv punten. Dit leidt tot de vergelijking

\begin{equation}\label{EulerE1}Hv = fe.\end{equation}

Met een vergelijkbare redenering krijgen we ook de vergelijking

\begin{equation}\label{EulerE2}Ef= 2e.\end{equation}

Als we deze twee vergelijkingen gaan combineren met Euler’s formule dan krijgen we de vergelijking

\begin{equation}\frac{1}{H} + \frac{1}{E} – \frac{1}{2}= \frac{1}{e} \end{equation}

en dus H en E moeten voldoen aan de volgende ongelijkheid

\begin{equation}\frac{1}{H} + \frac{1}{E}  -\frac{1}{2}> 0.\end{equation}

Tegelijkertijd H moet ook groter zijn dan 3, om een drie dimensionaal veelvlak te hebben. Naarmate H en E groeien, wordt \frac{1}{H} + \frac{1}{E} kleiner, dus we verwachten dat voor H en E groot genoeg \frac{1}{H} + \frac{1}{E}-\frac{1}{2} negatief wordt. Dus de vraag is hoe groot moeten H en E zijn? De resultaten zijn in de volgende tabel gegeven

 

De conclusie is dat er bestaan precies vijf canonieke veelvlakken, ook de vijf platonische lichamen genoemd. Die zijn de tetraëder (H=3, E=3), de kubus (H=3, E=4), de octaëder (H=4, E=3), de dodecaëder (H=3, E=5) en de icosaëder (H=5, E=3).

Een voetbal

Heb je ooit een voetbal goed bekeken. Een voetbal is niet echt een bal, zoals we het ook noemen. De oppervlak van een voetbal wordt eigenlijk samengesteld door twee soorten veelhoeken, vijfhoeken en zeshoeken. Die hebben allemaal ook een beetje kromming natuurlijk zodat de voetbal kan makkelijk rollen. Stel dat er V vijfhoeken zijn en Z zeshoeken. Dan Euler’s formule levert de volgende vergelijking

\begin{equation} \frac{5V+6Z}{3} - \frac{5V+6Z}{2} + V+Z = 2.\end{equation}

Als we de berekeningen gaan doen dan vinden we dat op een voetbal er zijn altijd 12 vijfhoeken! Maar wat gebeurt er met de zeshoeken dan? Ga zelf aan de slag om dit verder te onderzoeken!

Would you like to stay up to date when a new post appears on the Network Pages?
Subscribe to our mailing list
Follow us

Related articles